마이너스 곱하기 마이너스가 플러스인 이유는?

수학에서 마이너스 곱하기 마이너스의 결과가 왜 플러스인지 연구해 정리해보고자 합니다. 이 문제는 중학교 1학년 수학에서 처음 등장하는 개념으로 초등학교를 갓 졸업한 상태에서 긴 시간동안 궁리해야할 문제입니다. 그렇지 않으면 일단 규칙으로 받아들여 외운 다음 문제를 계속 풀어 습득한 뒤 진도가 나가면서 깨닫게 되는 개념 중 하나라 자칫 수학에 흥미를 잃기 쉽게 되는 단계이기도 합니다.

 

교과서에 제시된 설명은 중학교 1학년 수준에서 직관적으로 받아들일 수 있게 수직선을 도입하거나 채무 빚에 비유합니다. 하지만 빚으로 설명하면 마이너스끼리 더하고 빼는데는 편하지만 곱할때는 직관적이지 않고 헷갈려서 자칫 개념에 혼동이 올 수 있습니다. 

 

따라서 좀더 확실하고 엄밀하게 이해하고자 질문하는 학생들이 의외로 많기 때문에 아래와 같은 방법을 개념설명에 사용되기도 합니다.

 

peacock의 형식 불역의 원리

 

곱하기 기호를 *라 하겠습니다. 2 * 3 = 6이라는 의미는 2를 3번 더한 값은 6이다(2 + 2 + 2 = 6)라는 의미를 지니고 있습니다. 따라서 아래와 같은 규칙을 통해 유의미한 결과를 얻을 수 있습니다.

 

3 * 3 = 9

 

3 * 2 = 6

 

3 * 1 = 3

 

3 * 0 = 0

 

3 * (-1) = -3

 

3 * (-2) = -6

 

여기서 3 * (-2)는 (-2) * 3과 결과가 같고 (-2)를 3번 더한다는 의미이므로 위 계산결과와 비슷한 방식으로 전개하면 아래와 같은 규칙이 나오게 됩니다.

 

(-2) * 3 = -6

 

(-2) * 2 = -4

 

(-2) * 1 = -2

 

(-2) * 0 = 0

 

(-2) * (-1) = 2

 

(-2) * (-2) = 4

 

귀납적이긴 하지만 이 정도만으로도 중학생 수준까지는 충분히 납득할 것입니다. 하지만 고등학교 수준까지 증명을 배운 학생들은 연역적 증명을 요구할텐데 다음 제시하는 방법으로 증명하면 됩니다.

 

대수학적 증명

 

지금 교과서에서 항등원 역원 개념은 나오진 않지만 3 + (-3) = 0을 이해하고 이항 개념을 알면 이해할 수 있습니다. 또한 분배법칙 및 결합법칙은 다루고 있기때문에 고등학생 수준으로 충분히 증명이 됩니다. 

 

(-a)*(-b) = (-a) * (-b)

 

(-a)*(-b) = (-a) * (-b) + 0

 

(-a)*(-b) = (-a) * (-b) + {(-ab) + ab}

 

(-a)*(-b) = {(-a) * (-b) +(-ab)} + (ab)

 

(-a)*(-b) = {(-a) * (-b) +(-a)*b} + (ab)

 

(-a)*(-b) = (-a)*{ (-b) +b} + (ab)

 

(-a)*(-b) = (-a)*0 + ab

 

(-a)*(-b) = ab

 

 

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수학 공부법 참고

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